Bilangan Bulat

Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang terdiri dari himpunan bilangan positif (bilangan asli), bilangan nol, dan bilangan bulat negatif.

URUTAN BILANGAN BULAT
Perhatikan gambar berikut.

 

Dari gambar di atas kamu akan menemukan bahwa semakin ke kanan, bilangan bulat pada garis bilangan tersebut semakin besar, sebaliknya semakin ke kiri, bilangan bulat pada garis bilangan semakin kecil. Misalnya:

·  -2 terletak di sebelah kiri 0 sehingga -2 < 0;

·  0 terletak di sebelah kanan -1 sehingga 0 > -1;

·  -5 terletak di sebelah kiri -3 sehingga -5 < -3;

·  -4 terletak di sebelah kanan -6 sehingga -4 > -6.

LAWAN BILANGAN BULAT 

·  Setiap bilangan bulat mempunyai tepat satu lawan yang juga merupakan bilangan bulat

·  Dua bilangan bulat dikatakan berlawanan, apabila dijumlahkan menghasilkan nilai nol.
a + (-a) = 0

Misalnya :

1.    Lawan dari 4 adalah -4, sebab 4 + (-4) = 0

2.    Lawan dari -7 adalah 7, sebab -7 + 7 = 0

3.    Lawan dari -2 adalah 2, sebab -2 + 2 = 0

4.    Lawan dari 3 adalah -3, sebab 3 + (-3) = 0

5.    Lawan dari 10 adalah -10, sebab 10 + (-10) = 0

6.    Lawan dari 0 adalah 0, sebab 0 + 0 = 0

OPERASI BILANGAN BULAT
Penjumlahan Bilangan Bulat

1)   Kedua bilangan bertanda sama

Jika kedua bilangan bertanda sama (keduanya bilangan positif atau keduanya bilangan negatif), jumlahkan kedua bilangan tersebut. Hasilnya berilah tanda sama dengan tanda kedua bilangan.

Contoh:

a) 125 + 234 = 359

b) –58 + (–72) = –(58 + 72) = –130

2) Kedua bilangan berlawanan tanda

Jika kedua bilangan berlawanan tanda (bilangan positif dan bilangan negatif), kurangi bilangan yang bernilai lebih besar dengan bilangan yang bernilai lebih kecil tanpa memerhatikan tanda. Hasilnya, berilah tanda sesuai bilangan yang bernilailebih besar.

Contoh:

a) 75 + (–90) = –(90 – 75) = –15

b) (–63) + 125 = 125 – 63 = 62

Pengurangan Bilangan Bulat

Pada pengurangan bilangan bulat, mengurangi dengan suatu bilangan sama artinya dengan menambah dengan lawan pengurangnya.

Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut: Untuk setiap bilangan bulat a dan b, maka berlaku

a – b = a + (–b).

Contoh:

a. 7 – 9 = 7 + (–9) = –2

b. –8 – 6 = –8 + (–6) = –14

c. 15 – (–5) = 15 + 5 = 20

d. –12 – (–6) = –12 + 6 = –6

Perkalian Bilangan Bulat

Perkalian adalah penjumlahan berulang sebanyak bilangan yang dikalikan.
Contoh :
2 x 4 = 4 + 4 = 8
3 x 5 = 5 + 5 + 5 = 15

Sifat-sifat perkalian suatu bilangan
a. Perkalian bilangan positif dengan bilangan positif, hasilnya positif.
Contoh:
1) 4 x 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20
2) 7 x 8 = 56
3) 12 x 15 = 180
b Perkalian bilangan positif dengan bilangan negatif, hasilnya negatif.
   Contoh:
    1) 4 x (-5) = (-5) + (-5) +(-5) +(-5) = -20
    2) 7 x (-8) = -56
    3) 12 x (-15) = -180
c. Perkalian bilangan negatif dengan bilangan positif, hasilnya negatif.
    Contoh:
    1) -4 x 5 = -(5 + 5 + 5 + 5) = -20.
    2) -7 x 8 = -56
    3) -12x 15 = -180
d. Perkalian bilangan negatif dengan bilangan negatif, hasilnya positif.
    Contoh:
    1) -4 x (-5) = -[-5 + (-5) + (-5) + (-5)] = -[-20] = 20
    2) -7 x (-8) = 56
    3) -12 x (-15) = 180

Pembagian bilangan bulat

Pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian
Contoh
12 : 4 = 3, karena 4 x 3 = 12 atau 3 x 4 = 12
42 : 7 = 6, karena 7 x 6 = 42 atau 6 x 7 = 42
Sifat-sifat pembagian bilangan bulat
a. Pembagian bilangan positif dengan bilangan positif, hasilnya positif
    Contoh
    1) 63 : 7 = 9
    2) 143 : 11 = 13
b. Pembagian bilangan positif dengan bilangan negatif, hasilnya negatif
    Contoh:
    1) 63 : (-9) = -7
    2) 72 : (-6) = -12
c. Pembagian bilangan negatif dengan bilangan positif, hasilnya negatif
    Contoh:
    1) -63 : 7 = -9
    2) -120 : 10 = -12
d. Pembagian bilangan negatif dengan bilangan negatif, hasilnya positif.
    Contoh:
    1) -72 : (-8) = 9
    2) -120 : (-12) = 10

SIFAT OPERASI HITUNG BILANGAN BULAT

1.    Sifat komutatif
Sifat komutatif (pertukaran) pada penjumlahan dan perkalian.
a + b = b + a
a x b = b x a, berlaku untuk semua bilangan bulat
Contoh:
1) 2 + 4 = 4 + 2 = 6
2) 3 + 5 = 5 + 3 = 8
3) 4 x 2 = 2 x 4 = 8
4) 3 x 2 = 2 x 3 = 6

2.    Sifat asosiatif
Sifat asosiatif (pengelompokan) pada penjumlahan dan perkalian.
(a + b) + c = a + (b+c)
(a x b) x c = a x (bxc), berlaku untuk semua bilangan bulat
Contoh:
1) (2+4) + 6 = 2 + (4+6) = 12
2) (3+6) + 7 = 3 + (6+7) = 16
3) (3x2) x 4 = 3 x (2x4) = 24
4) (3x5) x 2 = 3 x (5x2) = 30

3.    Sifat distributif (penyebaran)
a x (b + c) = (a x b) + (a x c), yang berlaku untuk semua bilangan bulat.
Contoh
1) 4 x (5 + 2) = (4 x 5) + (4 x 2) = 28
2) 5 x (7 + 3) = (5 x 7) + (5 x 3) = 50

4.    Operasi Campuran
Aturan dalam mengerjakan operasi campuran adalah sebagai berikut:

a.    Operasi dalam tanda kurung dikerjakan terlebih dahulu.

b.    Perkalian dan pembagian adalah setara, yang ditemui terlebih dahulu dikerjakan terlebih dahulu.

c.    Penjumlahan dan pengurangan adalah setara, yang ditemui terlebih dahulu dikerjakan terlebih dahulu.

d.   Perkalian atau pembagian dikerjakan lebih dahulu daripada penjumlahan atau pengurangan.

Contoh
1. a. 20 + 30 – 12 = 50 – 12 = 38
    b. 40 – 10 - 5 = 30 – 5 = 25
    c. 40 - (10 - 5) = 40 – 5 = 35
2. a. 600 : 2O : 5 = 30 : 5 = 6
    b. 600 : (20 : 5) = 600 : 4 = 150
    c. 5 x 8 : 4 = 40 : 4 = 10
3. a. 5 x (8 + 4) = 5 x 12 = 60
    b. 5 x 8 -4 = 40 – 4 = 36
    c. 5 x (8 – 4) = 5 x 4 = 20 

LATIHAN
1. Susunlah bilangan bulat berikut dari yang terkecil hingga yang terbesar.
    a. -2, -4, 1
    b. 2, -3, 4
    c. 0, -1, 1, -3, 2, 4, 5, -5, -2, -4
    d. -14, 18, -19, 20, -12, 21, -17.
2. Lengkapi titik-titik berikut dengan tanda ">" atau "<" sehingga diperoleh pernyataan yang benar.
    a. 1 ... 3
    b. 2 ... 9
    c. -3 ... 0
    d. -5 ... 10
    e. -90 ... -100
3. Tentukan hasil dari penjumlahan dan pengurangan bilangan berikut.
    a. 4 + 5
    b. 7 + (-5) = ...
    c. 9 - 2 = ...
    d. 9 - (-2) = ...
    e. -4 - 5 = ...
4. Tentukan hasil kali dan hasil bagi dari bilangan berikut.
    a. 5 x 3 = ...
    b. -5 x 3 = ...
    c. -5 x (-3) = ...
    d. 27 : 3 = ...
    e. 27 : (-3) = ...
    f. -27 : (-3) = ...

PERPANGKATAN BILANGAN

Kuadrat atau pangkat dua suatu bilangan adalah mengalikan suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri. Lebih lanjut, perpangkatan suatu bilangan artinya perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Perhatikan perpangkatan bilangan pokok 2 berikut.

2¹ = 2

2² = 2 × 2 (2² dibaca 2 kuadrat atau 2 pangkat 2)

    = 4

2³ = 2 × 2 × 2 (2³ dibaca 2 pangkat 3)

    = 8

Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk sebarang bilangan bulat p dan bilangan bulat positif n, berlaku

dengan p disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat (eksponen). Untuk p ≠ 0 maka p⁰ = 1 dan p¹ = p.

Contoh:

9²            = 9 × 9

            = 81

(–6)³      = (–6) × (–6) × (–6)

= 36 × (–6)

= –216

KUADRAT DAN AKAR KUADRAT BILANGAN BULAT

Kalian telah mengetahui bahwa a² = a × a di mana a² dibaca a kuadrat atau a pangkat dua.

Jika a = 2 maka a² = 2 × 2 = 4. Hal ini dapat ditulis 

dibaca akar pangkat dua dari 4 atau akar kuadrat dari 4.

Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.

sama artinya dengan .

Untuk lebih jelas, silakan lihat video berikut:

Diskusikan penyeelesaian soal berikut ini! Tuliskan pendapatmu melalui kolom komentar!

Jumlah dua bilangan bulat adalah 15 sedangkan hasil kalinya adalah 54. Berapakan selisih kedua bilangan itu?