Himpunan

HIMPUNAN

A. Pengertian Himpunan

Himpunan adalah sekumpulan objek atau benda yang memiliki karakteristik yang sama atau
terdefinisi dengan jelas.

Contoh himpunan :
1. kumpulan nama hari dalam seminggu
2. kumpulan warna lampu lalu lintas
3. kumpulan makanan manis
Contoh bukan himpunan :
1. kumpulan lukisan indah
2. kumpulan wanita cantik
3. kumpulan anak pintar

B. Notasi Himpunan dan Anggota Himpunan

Nama himpunan ditulis dengan huruf kapital dan anggotanya ditulis diantara kurung kurawal. notasi  untuk menyatakan anggota himpunan

notasi  untuk menyatakan bukan anggota himpunan

C. Cara Menyajikan Himpunan

1. Mendaftarkan anggotanya (enumerasi)

Contoh: = {3, 5, 7}

2. Menyatakan sifat yang dimiliki oleh anggotanya

Contoh: A = Himpunan semua bilangan ganjil yang lebih dari 1 dan kurang dari 8.

              A = {bilangan ganjil yang lebih dari 1 dan kurang dari 8}

3. Menuliskan notasi pembentuk himpunan

Contoh: = {x |1 <  x < 8,  x adalah bilangan ganjil}

D. Bilangan Kardinal

Bilangan kardinal himpunan A adalah bilangan yang menyatakan banyak anggota himpunan A, ditulis n(A). Contoh : A= {a, i, u, e, o}, maka n (A) = 5

E. Macam-macam Himpunan

a. Himpunan Bilangan : bilangan asli, bilangan cacah, bilangan ganjil, bilangan genap, dan lain-lain

b. Himpunan kosong : Himpunan yang tidak memiliki anggota, ditulis    {  } 

c. Himpunan Terhingga : merupakan himpunan yang memiliki banyak anggota terbatas

d. Himpunan tak terhingga : merupakan himpunan yang memiliki banyak anggota tak terbatas

F. Himpunan Semesta

Himpunan semesta adalah himpunan seluruh unsur yang menjadi objek pembicaraan dan
dilambangkan dengan S.
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan anggotanya dalam suatu gambar (diagram) yang disebut dengan diagram Venn
Contoh diagram Venn
Misalkan A adalah himpunan semua bilangan ganjil yang lebih dari 1 dan kurang dari 8 dengan
himpunan semesta S, maka gambar diagram venn adalah sebagai berikut.

G. Operasi Himpunan

1. Irisan ( ∩ )

Irisan himpunan A dan B adalah himpunan semua anggota semesta yang merupakan  anggota himpunan A dan himpunan B.
A ∩ B = { x| x ∈A   dan  x ∈B  }
Jika " X∩Y = ∅ dan Y∩X = ∅ disebut bahwa himpunan X saling lepas dengan himpunan Y.
Sifat: Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Jika  A⊂B , maka  A∩B  = A

2. Gabungan (∪)

Misalkan S adalah himpunan semesta. Gabungan himpunan Adan B adalah himpunan yang
anggotanya semua anggota S yang merupakan anggota himpunan A atau anggota himpunan B, dilambangkan dengan ∪. A∪B = {x |  x∈A   atau   x∈B  }
Sifat: Untuk A dan B himpunan berlaku: n( A∪B ) = n( A ) + n( B ) − n(A∩B )

Misalkan A, B dan C adalah himpunan. n( A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) − n( A∩B ) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n( A∩B∩C)

3. Komplemen (Complement)

Misalkan S adalah himpunan semesta dan A adalah suatu himpunan. Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan semua anggota himpunan S yang bukan anggota himpunan A, dilambangkan dengan 
 = {x |  x∈ Sdan    x∉ A}
Hukum de Morgan

4. Selisih (difference)

Definisi: Komplemen relatif B terhadap A adalah himpunan semua anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B, dilambangkan A− B
A − B   = { x|  x∈A   dan   x∉B  } = 
Sifat: Untuk sebarang himpunan A dan B, berlaku
 Jika A∩B  = ∅, maka A−B = A   dan B−A = B·
 Jika A⊂B  , maka A−B   = ∅·

Contoh Soal dan Pembahasan Himpunan

 

Contoh Soal 1:

Dari 42 kambing yang ada di kandang milik pak Arman, 30 kambing menyukai rumput gajah, dan 28 ekor kambing menyukai rumput teki. apabila ada 4 ekor kambing yang tidak menyukai kedua rumput tersebut, berapa ekor kambing yang menyukai rumput gajah dan rumput teki?

Pembahasan:

untuk mencarinya, kita gunakan rumus himpunan berikut:

n{AΛB} = (n{A} + n{B}) - (n{S} - n{X})

n{AΛB} = (30 + 28) - (42 - 4)

n{AΛB} = 58 - 38

n{AΛB} = 20

Jadi, jumlah kambing yang menyukai kedua jenis rumput tersebut adalah 20 ekor.

Contoh Soal 2:

Siswa kelas 7 SMP Tunas Mekar adalah 45. tiap-tiap siswa memilih dua jenis pelajaran yang mereka sukai. diketahui ada 27 siswa yang menyukai pelajaran Matematika dan 26 siswa menyukai pelajaran Bahasa Inggris. Sementara siswa yang tidak menyukai kedua pelajaran tersebut ada 5 orang. Tentukanlah banyaknya siswa yang menyukai pelajaran bahasa inggris dan matematika serta gambarlah diagram venn-nya.

Pembahasan:

Kita cari terlebih dahulu jumlah siswa yang menyukai kedua pelajaran tersebut:

n{AΛB} = (n{A} + n{B}) - (n{S} - n{X})

n{AΛB} = (27 + 26) – (45 – 5)

n{AΛB} = 13

Maka dapat disimpulkan bahwa:

Siswa yang menyukai matematika saja = 27 - 13 = 14 siswa

Siswa yang menyukai bahasa inggris saja = 26 - 13 = 13 siswa

Maka gambar diagram venn-nya adalah:

Contoh Soal 3:

Di dalam sebuah ruangan terdapat 150 siswa yang baru lulus SMP. Diketahui ada 75 siswa memilih untuk masuk SMA dan 63 siswa memilih untuk masuk SMK sementara ada 32 siswa yang belum menentukan pilihannya. Lalu, berapakah banyaknya siswa yang hanya memilih untuk masuk SMA dan SMK saja?

Pembahasan:

Siswa yang memilih masuk SMA dan SMK adalah:

n{AΛB} = (n{A} + n{B}) - (n{S} - n{X})

n{AΛB} = (75 + 63) – (150 – 32)

n{AΛB} = 138 – 118

n{AΛB} = 20 siswa

Siswa yang memilih masuk SMA saja = 75 – 20 = 55 orang

Siswa yang mmeilih masuk SMK saja = 63 – 20 = 43 orang

Contoh Soal 4:

Dari 40 orang bayi, diketahui bahwa ada 18 bayi yang gemar memakan pisang, 25 bayi gemar makan bubur, dan 9 bayi menyukai keduanya. Lalu ada berapa bayi yang tidak menyukai pisang dan bubur?

Pembahasan:

n{AΛB} = (n{A} + n{B}) - (n{S} - n{X})

9 = (18 + 25) - (40 - n{X})

9 = 43 - 40 + n{X}

9 = 3 + n{X}

9 - 3 = n{X} 

n{X} = 6

Contoh Soal 5:

Dari sekelompok atlet diketahui bahwa 17 orang menyukai sepak bola, 13 menyukai renang, dan 12 orang menyukai keduanya. coba kalian gambarkan diagram venn dan tentukan pula jumlah keseluruhan dari atlet tersebut.

Pembahasan:

Jumlah keseluruhan dari atlet tersebt adalah:

Atlet ang menyukai sepakbola saja : 17-12 = 5 orang

Atlet yang menyukai renang saja = 13 – 12 = 1 orang

Diagram venn-nya adalah:

Jadi, jumlah keseluruhan atlet tersebut adalah 18 orang

Untuk lebih tentang materi operasi himpunan, saksikan video ini

Diskusikan penyelesaian soal berikut dan tuliskan pendapatmu pada kolom komentar!
Dalam seleksi siswa penerima beasiswa berprestasi, setiap siswa harus lulus tes matematika dan tes bahasa inggris. Dari 240 peserta terdapat 167 orang dinyatakan lulus tes matematika dan 108 orang dinyatakan lulus tes bahasa inggris serta 5 orang tidak dapat mengikuti kedua tes tersebut. Berapakah banyak siswa yang dinyatakan lulus sebagai penerima beasiswa berprestasi ?