Aritmetika Sosial

Read More

Himpunan

HIMPUNAN

A. Pengertian Himpunan

Himpunan adalah sekumpulan objek atau benda yang memiliki karakteristik yang sama atau
terdefinisi dengan jelas.

Contoh himpunan :
1. kumpulan nama hari dalam seminggu
2. kumpulan warna lampu lalu lintas
3. kumpulan makanan manis
Contoh bukan himpunan :
1. kumpulan lukisan indah
2. kumpulan wanita cantik
3. kumpulan anak pintar

B. Notasi Himpunan dan Anggota Himpunan

Nama himpunan ditulis dengan huruf kapital dan anggotanya ditulis diantara kurung kurawal. notasi  untuk menyatakan anggota himpunan

notasi  untuk menyatakan bukan anggota himpunan

C. Cara Menyajikan Himpunan

1. Mendaftarkan anggotanya (enumerasi)

Contoh: = {3, 5, 7}

2. Menyatakan sifat yang dimiliki oleh anggotanya

Contoh: A = Himpunan semua bilangan ganjil yang lebih dari 1 dan kurang dari 8.

              A = {bilangan ganjil yang lebih dari 1 dan kurang dari 8}

3. Menuliskan notasi pembentuk himpunan

Contoh: = {x |1 <  x < 8,  x adalah bilangan ganjil}

D. Bilangan Kardinal

Bilangan kardinal himpunan A adalah bilangan yang menyatakan banyak anggota himpunan A, ditulis n(A). Contoh : A= {a, i, u, e, o}, maka n (A) = 5

E. Macam-macam Himpunan

a. Himpunan Bilangan : bilangan asli, bilangan cacah, bilangan ganjil, bilangan genap, dan lain-lain

b. Himpunan kosong : Himpunan yang tidak memiliki anggota, ditulis    {  } 

c. Himpunan Terhingga : merupakan himpunan yang memiliki banyak anggota terbatas

d. Himpunan tak terhingga : merupakan himpunan yang memiliki banyak anggota tak terbatas

F. Himpunan Semesta

Himpunan semesta adalah himpunan seluruh unsur yang menjadi objek pembicaraan dan
dilambangkan dengan S.
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan anggotanya dalam suatu gambar (diagram) yang disebut dengan diagram Venn
Contoh diagram Venn
Misalkan A adalah himpunan semua bilangan ganjil yang lebih dari 1 dan kurang dari 8 dengan
himpunan semesta S, maka gambar diagram venn adalah sebagai berikut.

G. Operasi Himpunan

1. Irisan ( ∩ )

Irisan himpunan A dan B adalah himpunan semua anggota semesta yang merupakan  anggota himpunan A dan himpunan B.
A ∩ B = { x| x ∈A   dan  x ∈B  }
Jika " X∩Y = ∅ dan Y∩X = ∅ disebut bahwa himpunan X saling lepas dengan himpunan Y.
Sifat: Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Jika  A⊂B , maka  A∩B  = A

2. Gabungan (∪)

Misalkan S adalah himpunan semesta. Gabungan himpunan Adan B adalah himpunan yang
anggotanya semua anggota S yang merupakan anggota himpunan A atau anggota himpunan B, dilambangkan dengan ∪. A∪B = {x |  x∈A   atau   x∈B  }
Sifat: Untuk A dan B himpunan berlaku: n( A∪B ) = n( A ) + n( B ) − n(A∩B )

Misalkan A, B dan C adalah himpunan. n( A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) − n( A∩B ) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n( A∩B∩C)

3. Komplemen (Complement)

Misalkan S adalah himpunan semesta dan A adalah suatu himpunan. Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan semua anggota himpunan S yang bukan anggota himpunan A, dilambangkan dengan 
 = {x |  x∈ Sdan    x∉ A}
Hukum de Morgan

4. Selisih (difference)

Definisi: Komplemen relatif B terhadap A adalah himpunan semua anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B, dilambangkan A− B
A − B   = { x|  x∈A   dan   x∉B  } = 
Sifat: Untuk sebarang himpunan A dan B, berlaku
 Jika A∩B  = ∅, maka A−B = A   dan B−A = B·
 Jika A⊂B  , maka A−B   = ∅·

Contoh Soal dan Pembahasan Himpunan

 

Contoh Soal 1:

Dari 42 kambing yang ada di kandang milik pak Arman, 30 kambing menyukai rumput gajah, dan 28 ekor kambing menyukai rumput teki. apabila ada 4 ekor kambing yang tidak menyukai kedua rumput tersebut, berapa ekor kambing yang menyukai rumput gajah dan rumput teki?

Pembahasan:

untuk mencarinya, kita gunakan rumus himpunan berikut:

n{AΛB} = (n{A} + n{B}) - (n{S} - n{X})

n{AΛB} = (30 + 28) - (42 - 4)

n{AΛB} = 58 - 38

n{AΛB} = 20

Jadi, jumlah kambing yang menyukai kedua jenis rumput tersebut adalah 20 ekor.

Contoh Soal 2:

Siswa kelas 7 SMP Tunas Mekar adalah 45. tiap-tiap siswa memilih dua jenis pelajaran yang mereka sukai. diketahui ada 27 siswa yang menyukai pelajaran Matematika dan 26 siswa menyukai pelajaran Bahasa Inggris. Sementara siswa yang tidak menyukai kedua pelajaran tersebut ada 5 orang. Tentukanlah banyaknya siswa yang menyukai pelajaran bahasa inggris dan matematika serta gambarlah diagram venn-nya.

Pembahasan:

Kita cari terlebih dahulu jumlah siswa yang menyukai kedua pelajaran tersebut:

n{AΛB} = (n{A} + n{B}) - (n{S} - n{X})

n{AΛB} = (27 + 26) – (45 – 5)

n{AΛB} = 13

Maka dapat disimpulkan bahwa:

Siswa yang menyukai matematika saja = 27 - 13 = 14 siswa

Siswa yang menyukai bahasa inggris saja = 26 - 13 = 13 siswa

Maka gambar diagram venn-nya adalah:

Contoh Soal 3:

Di dalam sebuah ruangan terdapat 150 siswa yang baru lulus SMP. Diketahui ada 75 siswa memilih untuk masuk SMA dan 63 siswa memilih untuk masuk SMK sementara ada 32 siswa yang belum menentukan pilihannya. Lalu, berapakah banyaknya siswa yang hanya memilih untuk masuk SMA dan SMK saja?

Pembahasan:

Siswa yang memilih masuk SMA dan SMK adalah:

n{AΛB} = (n{A} + n{B}) - (n{S} - n{X})

n{AΛB} = (75 + 63) – (150 – 32)

n{AΛB} = 138 – 118

n{AΛB} = 20 siswa

Siswa yang memilih masuk SMA saja = 75 – 20 = 55 orang

Siswa yang mmeilih masuk SMK saja = 63 – 20 = 43 orang

Contoh Soal 4:

Dari 40 orang bayi, diketahui bahwa ada 18 bayi yang gemar memakan pisang, 25 bayi gemar makan bubur, dan 9 bayi menyukai keduanya. Lalu ada berapa bayi yang tidak menyukai pisang dan bubur?

Pembahasan:

n{AΛB} = (n{A} + n{B}) - (n{S} - n{X})

9 = (18 + 25) - (40 - n{X})

9 = 43 - 40 + n{X}

9 = 3 + n{X}

9 - 3 = n{X} 

n{X} = 6

Contoh Soal 5:

Dari sekelompok atlet diketahui bahwa 17 orang menyukai sepak bola, 13 menyukai renang, dan 12 orang menyukai keduanya. coba kalian gambarkan diagram venn dan tentukan pula jumlah keseluruhan dari atlet tersebut.

Pembahasan:

Jumlah keseluruhan dari atlet tersebt adalah:

Atlet ang menyukai sepakbola saja : 17-12 = 5 orang

Atlet yang menyukai renang saja = 13 – 12 = 1 orang

Diagram venn-nya adalah:

Jadi, jumlah keseluruhan atlet tersebut adalah 18 orang

Untuk lebih tentang materi operasi himpunan, saksikan video ini

Diskusikan penyelesaian soal berikut dan tuliskan pendapatmu pada kolom komentar!
Dalam seleksi siswa penerima beasiswa berprestasi, setiap siswa harus lulus tes matematika dan tes bahasa inggris. Dari 240 peserta terdapat 167 orang dinyatakan lulus tes matematika dan 108 orang dinyatakan lulus tes bahasa inggris serta 5 orang tidak dapat mengikuti kedua tes tersebut. Berapakah banyak siswa yang dinyatakan lulus sebagai penerima beasiswa berprestasi ?

Read More

Bilangan Bulat

Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang terdiri dari himpunan bilangan positif (bilangan asli), bilangan nol, dan bilangan bulat negatif.

URUTAN BILANGAN BULAT
Perhatikan gambar berikut.

 

Dari gambar di atas kamu akan menemukan bahwa semakin ke kanan, bilangan bulat pada garis bilangan tersebut semakin besar, sebaliknya semakin ke kiri, bilangan bulat pada garis bilangan semakin kecil. Misalnya:

·  -2 terletak di sebelah kiri 0 sehingga -2 < 0;

·  0 terletak di sebelah kanan -1 sehingga 0 > -1;

·  -5 terletak di sebelah kiri -3 sehingga -5 < -3;

·  -4 terletak di sebelah kanan -6 sehingga -4 > -6.

LAWAN BILANGAN BULAT 

·  Setiap bilangan bulat mempunyai tepat satu lawan yang juga merupakan bilangan bulat

·  Dua bilangan bulat dikatakan berlawanan, apabila dijumlahkan menghasilkan nilai nol.
a + (-a) = 0

Misalnya :

1.    Lawan dari 4 adalah -4, sebab 4 + (-4) = 0

2.    Lawan dari -7 adalah 7, sebab -7 + 7 = 0

3.    Lawan dari -2 adalah 2, sebab -2 + 2 = 0

4.    Lawan dari 3 adalah -3, sebab 3 + (-3) = 0

5.    Lawan dari 10 adalah -10, sebab 10 + (-10) = 0

6.    Lawan dari 0 adalah 0, sebab 0 + 0 = 0

OPERASI BILANGAN BULAT
Penjumlahan Bilangan Bulat

1)   Kedua bilangan bertanda sama

Jika kedua bilangan bertanda sama (keduanya bilangan positif atau keduanya bilangan negatif), jumlahkan kedua bilangan tersebut. Hasilnya berilah tanda sama dengan tanda kedua bilangan.

Contoh:

a) 125 + 234 = 359

b) –58 + (–72) = –(58 + 72) = –130

2) Kedua bilangan berlawanan tanda

Jika kedua bilangan berlawanan tanda (bilangan positif dan bilangan negatif), kurangi bilangan yang bernilai lebih besar dengan bilangan yang bernilai lebih kecil tanpa memerhatikan tanda. Hasilnya, berilah tanda sesuai bilangan yang bernilailebih besar.

Contoh:

a) 75 + (–90) = –(90 – 75) = –15

b) (–63) + 125 = 125 – 63 = 62

Pengurangan Bilangan Bulat

Pada pengurangan bilangan bulat, mengurangi dengan suatu bilangan sama artinya dengan menambah dengan lawan pengurangnya.

Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut: Untuk setiap bilangan bulat a dan b, maka berlaku

a – b = a + (–b).

Contoh:

a. 7 – 9 = 7 + (–9) = –2

b. –8 – 6 = –8 + (–6) = –14

c. 15 – (–5) = 15 + 5 = 20

d. –12 – (–6) = –12 + 6 = –6

Perkalian Bilangan Bulat

Perkalian adalah penjumlahan berulang sebanyak bilangan yang dikalikan.
Contoh :
2 x 4 = 4 + 4 = 8
3 x 5 = 5 + 5 + 5 = 15

Sifat-sifat perkalian suatu bilangan
a. Perkalian bilangan positif dengan bilangan positif, hasilnya positif.
Contoh:
1) 4 x 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20
2) 7 x 8 = 56
3) 12 x 15 = 180
b Perkalian bilangan positif dengan bilangan negatif, hasilnya negatif.
   Contoh:
    1) 4 x (-5) = (-5) + (-5) +(-5) +(-5) = -20
    2) 7 x (-8) = -56
    3) 12 x (-15) = -180
c. Perkalian bilangan negatif dengan bilangan positif, hasilnya negatif.
    Contoh:
    1) -4 x 5 = -(5 + 5 + 5 + 5) = -20.
    2) -7 x 8 = -56
    3) -12x 15 = -180
d. Perkalian bilangan negatif dengan bilangan negatif, hasilnya positif.
    Contoh:
    1) -4 x (-5) = -[-5 + (-5) + (-5) + (-5)] = -[-20] = 20
    2) -7 x (-8) = 56
    3) -12 x (-15) = 180

Pembagian bilangan bulat

Pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian
Contoh
12 : 4 = 3, karena 4 x 3 = 12 atau 3 x 4 = 12
42 : 7 = 6, karena 7 x 6 = 42 atau 6 x 7 = 42
Sifat-sifat pembagian bilangan bulat
a. Pembagian bilangan positif dengan bilangan positif, hasilnya positif
    Contoh
    1) 63 : 7 = 9
    2) 143 : 11 = 13
b. Pembagian bilangan positif dengan bilangan negatif, hasilnya negatif
    Contoh:
    1) 63 : (-9) = -7
    2) 72 : (-6) = -12
c. Pembagian bilangan negatif dengan bilangan positif, hasilnya negatif
    Contoh:
    1) -63 : 7 = -9
    2) -120 : 10 = -12
d. Pembagian bilangan negatif dengan bilangan negatif, hasilnya positif.
    Contoh:
    1) -72 : (-8) = 9
    2) -120 : (-12) = 10

SIFAT OPERASI HITUNG BILANGAN BULAT

1.    Sifat komutatif
Sifat komutatif (pertukaran) pada penjumlahan dan perkalian.
a + b = b + a
a x b = b x a, berlaku untuk semua bilangan bulat
Contoh:
1) 2 + 4 = 4 + 2 = 6
2) 3 + 5 = 5 + 3 = 8
3) 4 x 2 = 2 x 4 = 8
4) 3 x 2 = 2 x 3 = 6

2.    Sifat asosiatif
Sifat asosiatif (pengelompokan) pada penjumlahan dan perkalian.
(a + b) + c = a + (b+c)
(a x b) x c = a x (bxc), berlaku untuk semua bilangan bulat
Contoh:
1) (2+4) + 6 = 2 + (4+6) = 12
2) (3+6) + 7 = 3 + (6+7) = 16
3) (3x2) x 4 = 3 x (2x4) = 24
4) (3x5) x 2 = 3 x (5x2) = 30

3.    Sifat distributif (penyebaran)
a x (b + c) = (a x b) + (a x c), yang berlaku untuk semua bilangan bulat.
Contoh
1) 4 x (5 + 2) = (4 x 5) + (4 x 2) = 28
2) 5 x (7 + 3) = (5 x 7) + (5 x 3) = 50

4.    Operasi Campuran
Aturan dalam mengerjakan operasi campuran adalah sebagai berikut:

a.    Operasi dalam tanda kurung dikerjakan terlebih dahulu.

b.    Perkalian dan pembagian adalah setara, yang ditemui terlebih dahulu dikerjakan terlebih dahulu.

c.    Penjumlahan dan pengurangan adalah setara, yang ditemui terlebih dahulu dikerjakan terlebih dahulu.

d.   Perkalian atau pembagian dikerjakan lebih dahulu daripada penjumlahan atau pengurangan.

Contoh
1. a. 20 + 30 – 12 = 50 – 12 = 38
    b. 40 – 10 - 5 = 30 – 5 = 25
    c. 40 - (10 - 5) = 40 – 5 = 35
2. a. 600 : 2O : 5 = 30 : 5 = 6
    b. 600 : (20 : 5) = 600 : 4 = 150
    c. 5 x 8 : 4 = 40 : 4 = 10
3. a. 5 x (8 + 4) = 5 x 12 = 60
    b. 5 x 8 -4 = 40 – 4 = 36
    c. 5 x (8 – 4) = 5 x 4 = 20 

LATIHAN
1. Susunlah bilangan bulat berikut dari yang terkecil hingga yang terbesar.
    a. -2, -4, 1
    b. 2, -3, 4
    c. 0, -1, 1, -3, 2, 4, 5, -5, -2, -4
    d. -14, 18, -19, 20, -12, 21, -17.
2. Lengkapi titik-titik berikut dengan tanda ">" atau "<" sehingga diperoleh pernyataan yang benar.
    a. 1 ... 3
    b. 2 ... 9
    c. -3 ... 0
    d. -5 ... 10
    e. -90 ... -100
3. Tentukan hasil dari penjumlahan dan pengurangan bilangan berikut.
    a. 4 + 5
    b. 7 + (-5) = ...
    c. 9 - 2 = ...
    d. 9 - (-2) = ...
    e. -4 - 5 = ...
4. Tentukan hasil kali dan hasil bagi dari bilangan berikut.
    a. 5 x 3 = ...
    b. -5 x 3 = ...
    c. -5 x (-3) = ...
    d. 27 : 3 = ...
    e. 27 : (-3) = ...
    f. -27 : (-3) = ...

PERPANGKATAN BILANGAN

Kuadrat atau pangkat dua suatu bilangan adalah mengalikan suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri. Lebih lanjut, perpangkatan suatu bilangan artinya perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Perhatikan perpangkatan bilangan pokok 2 berikut.

2¹ = 2

2² = 2 × 2 (2² dibaca 2 kuadrat atau 2 pangkat 2)

    = 4

2³ = 2 × 2 × 2 (2³ dibaca 2 pangkat 3)

    = 8

Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk sebarang bilangan bulat p dan bilangan bulat positif n, berlaku

dengan p disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat (eksponen). Untuk p ≠ 0 maka p⁰ = 1 dan p¹ = p.

Contoh:

9²            = 9 × 9

            = 81

(–6)³      = (–6) × (–6) × (–6)

= 36 × (–6)

= –216

KUADRAT DAN AKAR KUADRAT BILANGAN BULAT

Kalian telah mengetahui bahwa a² = a × a di mana a² dibaca a kuadrat atau a pangkat dua.

Jika a = 2 maka a² = 2 × 2 = 4. Hal ini dapat ditulis 

dibaca akar pangkat dua dari 4 atau akar kuadrat dari 4.

Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.

sama artinya dengan .

Untuk lebih jelas, silakan lihat video berikut:

Diskusikan penyeelesaian soal berikut ini! Tuliskan pendapatmu melalui kolom komentar!

Jumlah dua bilangan bulat adalah 15 sedangkan hasil kalinya adalah 54. Berapakan selisih kedua bilangan itu?

 

Read More